ルート２は、なぜ無限(1.41421356・・・)に続くのか？の証明
前提その１
1/2 = 0.5など、分数で表せる値は、無限小数ではない(有理数=分数で表せる数)
前提その２
1/3 = 0.3333・・・など有理数だが、無限小数もある(ただし必ず循環小数=同じ値の繰り返し)
1/7 = 0.14285714285・・・と142857がループする。
前提その３
有理数 = 分数(1/2) or 循環小数(1/3)
無理数 = 無限小数(ルート2や円周率)
前提その４
逆を言えば(対偶)
分数(有理数)で表せないなら、必ず無限小数(無理数)となるので証明になる。
前提が長いな・・・。
ここから証明を開始
証明その１
もしルート２が有理数なら、a/bの形で表せるはず。
前提条件その１ = aもbも0ではない数
前提条件その２ = a/bは、これ以上約分できない。
証明その２
ルート２×ルート２＝２だから
a/b * a/b = 2のはず
移項すると(両辺にb*bをかけると)
a * a = 2 * b * b
証明その３
2*b*bは、２をかけているので偶数(2の倍数)のはず
という事は、a*aも偶数
証明その４
a*aは、同じ数をかけているので、a単体も偶数
※奇数×奇数＝必ず奇数だから
証明その５
偶数とは２の倍数だから、a*a=4n(４の倍数)となる
証明その６
右辺の2*b*bも４の倍数という事になる
証明その７
b*bは、同じ数をかけているので、b単体も偶数(２の倍数)
※奇数×奇数＝必ず奇数だから
証明その８
aもbも２の倍数という事になり、
証明その１の前提条件その２ = a/bは、これ以上約分できない。
という前提条件と矛盾する(2で約分できてしまう)
なので、有理数ではありない。無理数(無限小数)であると証明される。
感想
長い…。そして「なるほど！」というよりも、狐につままれたような感じ。
「お前がそう思うんならそうなんだろう、お前ん中ではな」とか言いたくなる。
積み重ねてきたロジックが、必ずしも説得力や納得感に直結しないのが、よく理解できたな…。
既約分数式（a/bは、これ以上約分できない)辺りを、もうちょい調べれば納得できるのか？